重视高三数学复习中创新思维题型

新一轮课程标准改革倡导学生自主学习，主动探究，培养能力，面对新课改下高三数学复习，除应夯实基本知识外，更应重视创新应用题型的训练，以培养学生综合运用所学知识的能力，轻松迎战新课程标准下的首次高考，下面以一道创新力度较大的题目为例，谈谈我对创新型题目解法的几点体会。

例：设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在（0，1），使得f(x)在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间。

对任意的[0，1]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法。

（Ⅰ）证明：对任意的x₁,x₂（0，1），x₁＜x₂，若f(x₁)≥f(x₂)，则（0，x₂）为含峰区间；若f(x₁)≤f(x₂)，则（x₁，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x₁，x₂（0，1），满足x₂－x₁≥2r，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r；

（Ⅲ）选取x₁，x₂（0，1），x₁＜x₂，由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰区间内选取x₃，由x₃与x₁或x₃与x₂类似地可确定一个新的含峰区间。在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，试确定x₁，x₂ ，x₃的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）。

解析：（Ⅰ）设是f(x)的峰点，当f(x₁) ≥f(x₂)时，假设（0，x₂），则x₁＜x₂≤，由题意得f()≥f(x₂)＞f(x₁)，这与f(x₁) ≥f(x₂)矛盾，所以（0，x₂），即（0，x₂）是含峰区间，同理可证：当f(x₁) ≤f(x₂)时，（x₁，1）是含峰区间。

（Ⅱ）当f(x₁) ≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l­₁=x₂；当f(x₁) ≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；由题意得于是1 + x₂ － x₁≤1 + 2r，即x₂－x₁≤2r。又x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r，那么x₁=0.5－r，x₂=0.5 + r.

显然，存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5 + r；

（Ⅲ）对先选择的x₁，x₂，x₁＜x₂，由（Ⅱ）可知x₁ + x₂=1。

在第一次确定的含峰区间为（0，x₂）的情况下，x₃的取值应满足x₃ + x₁=x₂，即当x₁＞x₃时，含峰区间的长度为x₁；由条件x₁－x₃ ≥0.02，得      x₁－（1－2x₁）≥0.02，从而x₁≥0.34，因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x₁=0.34，x₂=0.66，x₃=0.32.

1．要解决本题，不能够直接引用教科书中所讲述的定义、定理和公式，而是依据所学的中学数学知识，给出了一个新的定义，同时题目中也含有多个新概念，如“单峰”，“峰点”，“含峰区间”等，深刻理解这些新概念是解决本题的关键所在。这也是本题中提供的一个探究问题的方法，今后应学会运用。

2．本题也是一个全新的命题方式，它不仅仅是要大家解决一道数学应用题，而是要结合提供的诸多数学思想来探究一个问题，这正是新课程标准教材中极力提倡的一种数学学习方法。

3．解创新应用题三步曲，首先要认真读题，多读几遍题，弄清题目含义，以及实际背景；其次要将所解题目与中学数学教材知识对号入座，看本题重点考察哪些数学知识和数学思想方法；最后要找到相关量之间的关系，求出问题的解。

总之，为了更好地运用中学数学知识，取得高考数学的优异成绩，必须重视创新思维题型。